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第2章习题解c

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2-23 如本题图所示,将质量为m的小球用细线挂在倾角为q 的光滑斜面上。求 (1) 若斜面以加速度a沿图示方向运动时,求细线的张力及小球对斜面的正压力;(2) 当加速度a取何值时,小球刚可以离开斜面?解/ (1) 小球沿水平方向加速,表明作用于其上外力的垂直方向分量为零,即/ 又小球水平方向的运动方程为/联立解上述两方程得 / / (2) 小球刚可以离开斜面,表明此时 N = 0 / 由上述第二式可得 /2-24 一辆汽车驶入曲率半径为R的弯道。弯道倾斜一角度q ,轮胎与路面之间的摩擦系数为m求汽车在路面上不作侧向滑动时的最大和最小速率。解/ 车子驶慢时/ 就有侧向下滑的趋势,最小速率vmin应与向心力和最大摩擦力有关,相应的式子为/ / / /由此解得 / 车子驶快时/就有侧向往上滑的趋势,最大速率vmax应与向心力和最大摩擦力,相关的式子为/ / / /联立解得 /2-25 质量为m的环套在绳上,m相对绳以加速度a下落。求环与绳间的摩擦力。图中M、m为已知。略去绳与滑轮间的摩擦,绳不可伸长。解/ 按题意摩擦力与绳的张力相等,于是有 / / 由此解得 2-26 升降机中水平桌上有一质量为m的物体A,它被细线所系,细线跨过滑轮与质量也为m的物体B相连。当升降机以加速度a = g/2上升时,机内的人和地面上的人将观察到A、B两物体的加速度分别是多少?(略去各种摩擦,线轻且不可伸长。)解/ (1) 从机内看/ / / 由此解得 /(2)从地面上的人看/ 对A 有 / / 对B 有 / / 总之/ 有 / /2-27 如本题图所示,一根长l的细棒,可绕其端点在竖直平面内运动,棒的一端有质量为m的质点固定于其上。(1)试分析,在顶点A处质点速率取何值,才能使棒对它的作用力为0? (2) 假定m = 500 g/ l = 50/0 cm,质点以均匀速度v = 40 cm/s运动,求它在B点时棒对它的切向和法向的作用力。解/ (1) 由运动方程 / 可知/ 若要 / 则必须 / (2) 由运动方程 / 可知/ 切向力和法向力为2-28 一条均匀的绳子,质量为m,长度为l,将它拴在转轴上,以角速度w 旋转,试证明:略去重力时,绳中的张力分布为,式中r为到转轴的距离。解/ 在r处的张力T等于从r到l这一段绳子作圆周运动所需的向心力/ 对dr这一段/所需向心力为/ / 积分之可得/ 绳中的张力分布为 /2-29 在顶角为2a 的光滑圆锥面的顶点上/ 系一劲度系数为k的轻弹簧,下坠一质量为m的物体,绕锥面的轴线旋转。试求出使物体离开锥面的角速度w 和此时弹簧的伸长。解/ 当物体对锥面的正压力 N = 0时,物体离开桌面。此时物体的运动方程和所受的力分别为 / / 和/ 由此可得 / /2-30 抛物线形弯管的表面光滑,可绕铅直轴以匀角速率转动。抛物线方程为y = ax2,a为常数。小环套于弯管上。求 (1) 弯管角速度多大,小环可在管上任意位置相对弯管静止。(2) 若为圆形光滑弯管,情形如何?解/ (1) 小环的受力和运动方程为 / / (式中为弯管对小环的正压力,为弯管切线与轴的夹角) /由此解得 /(2) 由上述运动方程可见,相对弯管静止的位置(平衡位置)应满足关系 / 即 / 对于轨迹为 的圆,有 / 代入上式得/ 由此可见,不存在与(或)无关的平衡点。2-31 在加速系中分析225题。解/ 以加速的考绳子作为参系,则除受重力Mg和绳子的张力(等于和绳的摩察力)fr外,还受到惯性力-Ma的作用,因相对静业,故其平衡方程为 / 此外,受到重力mg、摩擦力fr和惯性力-ma的作用,获得的相对加速度为a,故其运动方程为 / 由此可解得与2-25题同样的结果:2-32在加速系中分析226题。解/ 从机内看,存在惯性力,故运动方程为: / / 由此解得 /2-33在加速系中分析230题。解/ 在转动系中,存在惯性离心力 ,小环相对静止,由合力为零即可求得同样的结果。2-34 列车在北纬30自南向北沿
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